کاربرد ریاضی در پزشکی

[ahmadpashaei]

re mike:
باز هم ممنونم mike عزیز مسیر و راه رسیدن به هدفمو بهم دقیقا نشون دادین و از اینکه وقتتون رو گذاشتین و با این جزییات توضیح دادین  شرمنده فرمودین.البته من بازم از راهنمایی های شما استفاده خواهم کرد.[img]images/smilies/smile.gif[/img]

 

ضمن تشکر از Mike می خواستم به شما بگم که شما کدوم دانشگاه پزشکی می خونید؟اگر تهران هستین پیام خصوصی بدین تا بیشتر صحبت کنیم چون ما به یک بیولوژیست یا پزشک نیاز داریم.[img]images/smilies/shy.gif[/img]

[M1KE]

حالا که صحبت مدلسازی شد اجازه بدین قدری بیشتر در این مورد توضیح بدهم که موقع مراجعه به منابع و مراجع این موضوع دچار ابهام نشوید.

در کل دو نوع مدلسازی وجود داره: اولی مدلسازی فیزیکی که به اون مدلسازی مقیاسی هم گفته میشه و دومی هم مدلسازی ریاضی که به دو صورت تحلیلی یا عددی انجام میشه ولی گاهی به اشتباه مدلسازی ریاضی رو مترادف با مدلسازی عددی در نظر می گیرند که در ادامه یک توضیحی در این مورد می دهم.

۱- مدلسازی فیزیکی (Physical Modeling) یا مقیاسی (Scale Modeling): در این نوع مدلسازی در واقع ماکت فیزیکی نمونه اصلی ساخته میشه و رفتار پدیده موردنظر بر روی ماکت که در مقیاس کوچکتر یا بزرگتر (معمولا کوچکتر) ساخته شده برررسی میشه. این کار معمولا به دلیل هزینه بالای نمونه اصلی هست. برای نمونه وقتی می خواهند یک هواپیمای بزرگ را طراحی کنند یا تغییر کوچکی در قسمتی از بال یا بدنه اون انجام بدهند در عمل نمی آیند روی یک هواپیمای واقعی این کار را انجام بدهند چون هزینه اون خیلی زیاد هست و اگر آزمایش با شکست مواجه بشه جان خلبان و کل هواپیما از بین خواهد رفت. پس در عمل ماکت اون هواپیما در مقیاس کوچکتر (مثلا ۱:۱۰۰) ساخته میشه و سپس این ماکت درون یک تونل باد قرار می گیره و با وزش پنکه هایی به اون ماکت کوچکتر به شکلی سعی می کنند رفتار هواپیمای بزرگتر (نمونه اصلی) را بررسی کنند. یا مثلا در مورد سازه های بزرگ مثل سد ممکن است چنین ماکت هایی ساخته شود و رفتار اون هنگامی که با جریان های هیدرولیکی مختلف مواجه میشه بررسی بشه.

به این ۱:۱۰۰ که در مثال بالا اشاره شد ضریب مقیاس مدلسازی گفته میشه و بسته به ابعاد نمونه اصلی ممکنه از ضریب های مقیاس مختلفی در مدلسازی های فیزیکی استفاده بشود. منتهی این کار دارای دردسرهای خاص خودش هست. یکی از اونها هزینه نسبتا بالای انجام این نوع مدلسازی های فیزیکی هست. برای نمونه در همون ماکت هواپیما شما باید کلی هزینه کنید تا ماکت را بسازید و نیز نیازمند یک آزمایشگاه مجهز به تونل باد و ابزارهای اندازه گیری سرعت و فشار و غیره هستید تا بتونید رفتار اون ماکت در سرعت های مختلف رو بررسی کنید.

در مورد مسائل پزشکی با توجه به اینکه انسان یک موجود زنده هست شاید مثلا بشود آزمایش هایی که روی حیوانات دارای آناتومی مشابه انسان (مثل موش و میمون و غیره) انجام می شود را از این نوع به حساب آورد. البته به دلایلی که در ادامه می گویم این نوع مدلسازی یک دردسر دیگری هم دارد که باعث میشه نمونه کوچکتر (ماکت) لزوما رفتار مشابه با نمونه اصلی را نداشته باشه.

این مشکل از اونجایی ناشی میشه که جدای از اینکه نمونه اصلی و مدل (ماکت) می بایست دارای تشابه هندسی باشند (یعنی نسبت اجزای مختلف یکسان باشه) بلکه می بایست قوانین تشابه دینامیکی بین مدل و نمونه اصلی هم برقرار باشد. مثلا فرض کنید بال یک هواپیمای بزرگ ممکن است باد با سرعت ۳۰۰ کیلومتر در ساعت را تحمل کند ولی یک نمونه کوچک که از این هواپیما ساخته شده نمی تواند لزوما این سرعت را تحمل کند و با توجه به ابعادش همین که سرعت ۳۰ کیلومتر در ساعت را هم تحمل کند کافی است. این به دلیل همان تشابه دینامیکی است و باعث می شود در مدلسازی فیزیکی مجبور باشید برای حفظ این نوع تشابه حتی جنس سیال مورد استفاده در مدل و نمونه اصلی متفاوت باشد. مثلا ممکن است در مدلسازی جریان از روی سازه ای مثل سد مجبور شوید برای اینکه این تشابه رو برقرار کنید از سیالی مثل روغن استفاه کنید که دارای لزجت پایین تر یا بالاتری هست.

پس در مجموع می شود گفت این نوع مدلسازی نسبتا هزینه بر بوده و نیازمند دقت زیادی در ساخت مدل هست به طوری که بشود نتایج را در نهایت با هم مقایسه کرد.

۲- مدلسازی ریاضی (Mathematical Modeling) که به دو صورت تحلیلی (Analytical) یا عددی (Numerical) انجام میشه. و در واقع پیشنهاد من هم این هست که بیشتر به سمت این نوع مدلسازی بروید که ارزان تر و مقرون به صرفه تر هست. در این نوع مدلسازی همونطور که از اسمش هم پیداست شما نمونه اصلی را با یک سری معادلات ریاضی و فرضیاتی شبیه سازی می کنید و سپس این معادلات را روی کاغذ یا با ماشین حساب یا کامیوتر حل می کنید. اینکه چه معادلاتی را برای بیان پدیده موردنظر به کار ببرید می شود مدل ریاضی موردنظر. معمولا در این قسمت نیازی نیست شما کار زیادی کنید و این نوع مدل های ریاضی توسط دیگران معرفی شده اند مگر اینکه بخواهید روی یک موضوع بسیار جدید کار کنید. مثلا در همان مقاله ای که در صفجه گذاشته به اون پرداختیم دیدیم که برای تعریف پدیده رشد یک تومور سرطانی از ۴ معادله ریاضی که از نوع معادلات دیفرانسیل جزئی بودند استفاده شده بود. در مرحله دوم صحبت حل این معادلات حاکم بر پدیده یا همان مدل ریاضی تعریف شده برای آن پدیده پیش می آید. در اینجا دوباره دو روش کلی برای حل وجود دارد.

الف) روش های تحلیلی
در این روش شما معادله های ریاضی موردنظر را به صورت جبری یا تحلیلی حل می کنید. مثلا مساحت زیر یک نمودار معرف انتگرال آن نمودار است. در نتیجه اگر شما بتوانید انتگرال موردنظر را روی کاغذ به صورت تحلیلی حل کنید در عمل دیگر نیازی به مدلسازی عددی نحواهید داشت. مثلا برای یافتن مساحت زیر نمودار y=x انتگرال آن مشخص است که  0.5 * (X^2) است و با دانستن این موضوع شما دیگر نیازی به حل عددی این مساله برای یافتن مساحت زیر نمودار y=x نخواهید بود. در واقع کاری که من و شما در تمام طول دوران دبیرستان برای حل مسائل ریاضی به کار می بردیم از نوع تحلیلی بوده است.

ب) روش های عددی
ولی از آنجایی که همیشه امکان حل تحلیلی همه مساپل ریاضی فراهم نیست. مثلا ممکن است نموداری که قرار است مساحت زیر آن محاسبه شود دارای معادله خیلی پیچیده ای بوده و روش تحلیلی مشخصی برای حل آن وجود ندارد در اینجا شما مجبور می شود مساحت زیر نمودار را به صورت عددی تقریب بزنید. یعنی می آیید و زیر نمودار به ده ها و صدها مستطیل تقسیم می کنید و مساحت آن مستطیل ها را جمع می زنید (از نظر عددی مقدار آن نمودار را در بازه های مختلف به دست می آورید و ضربدر بازه هایی که تقسیم کرده اید می کنید و حاصل اینها را با هم جمع می کنید). اگر بازه هایی که برای تقسیم در نظر گرفته باشید به قدر کافی کوچک باشد طبیعی است که مساحتی که به این شکل و به صورت عددی تقریب زده می شود بسیار نزدیک به مقداری باشد که به صورت تحلیلی و از روش اول به دست می آید. برای انجام این نوع برآوردهای تقریبی یا در واقع حل عددی مسائل ریاضی پیچیده هم روش های عددی زیادی توسط افراد مختلف معرفی شده که می شود از آنها استفاده کرد. مثلا برای حل تقریبی و عددی یک معادله دیفرانسیل درجه ۲ ممکن است ۱۰ پژوهشگر روش های مختلفی را که معمولا به نام خودشان است را پیشنهاد داده باشند که در کتاب های روش های عددی به اینها پرداخته شده و شما می توانید از یکی از اینها استفاده کنید.

تا قبل از دهه ۹۰ به دلیل نبود کامپیوتر و یا سرعت پایین کامپیوترها امکان انجام چنین محاسبات عددی برای مسائل خیلی پیچیده فراهم نبود یا خیلی وقت گیر بوده ولی به تدریج با بهبود سرعت کامپیوترها از برنامه های کامپیوتری دارای سرعت بالا مثل فرترن و C استفاده می شد. در عمل بعد از حدود سال ۲۰۰۰ با بیشتر شدن سرعت کامپیوترها حتی می توان با برنامه های کامپیوتری با سرعت پایین تری مثل Matlab هم در زمان معقولی به مدلسازی و حل عددی یک پدیده پرداخت.

==============
در مجموع باید گفت روش مدلسازی فیزیکی یا مقیاسی که در ابتدای کار گفتم هزینه بر هست و شاید در داخل امکان انجام چنین مدلسازی هایی زیاد فراهم نباشد. در مورد روش دوم مدلسازی که روش ریاضی است دوباره به دو نوع تقسیم شده که اولی تحلیلی و دومی عددی است. روش تحلیلی را بهتر است دوستانی که ریاضی کاربردی می خوانند و تسلط بیشتری بر روی حل معادلات ریاضی و روش های حل آنها دارند استفاده کنند و روش دوم یعنی حل عددی را بقیه رشته ها (از پزشکی گرفته تا مهندسی و گیاه شناسی و هر رشته دیگری به غیر از ریاضی).

مدل های فیزیکی -----> هیچکدام نمی خواهد زیاد پیگیر آن شوید. (اگر امکاناتش فراهم نبود)
مدل ریاضی با رویکرد حل تحلیلی -----> بیشتر ریاضی کاربردی ها
مدل ریاضی با رویکرد حل عددی ------> بیشتر بقیه رشته ها

[butterfly]

تشکر از توضیحات خوبتون، 
من به عنوان فارغ التحصیل گرایش انالیز عددی از رشته ریاضی کاربردی لازم می دونم قسمت اخر صحبتتون تصحیح کنم.
اصولا گرایش انالیز عددی که به مطالعه و بررسی و بهبود روش های عددی و همچنین ایجاد روش های جدید برای حل مسائل ریاضی می پردازد و به طور کلی علت پیدایش چنین شاخه ای از ریاضیات عدم امکان حل تحلیلی و  یافتن جواب دقیق برای بسیاری از معادلات منتج از مدلسازی پدیده های مختلف فیزیکی، زیستی و غیره است. پس این تقسیم بندی شما که ریاضی کاربردی به رویکرد تحلیلی می پردازد و سایر رشته ها به رویکرد حل عددی چندان درست نیست. البته تحلیل ریاضیاتی بخشی از کار ریاضیدان های عددی و کاربردی هم هست به این صورت که ما فقط به پیاده سازی یک روش عددی بر روی یک مساله خاص و بهبود جواب ها اکتفا نمی کنیم و یک مقاله پر محتوا در این زمینه معمولا شامل چند قضیه برای اثبات نظری نتایج عددی مقاله نیز می باشد. در واقع متخصصان ریاضی همواره با اثبات های ریاضیاتی این اطمینان خاطر را برای سایر متخصصان فراهم می کنند که می توان روش مورد نظر را به با اسودگی خاطر استفاده کرد.

حالا که صحبت مدلسازی شد اجازه بدین قدری بیشتر در این مورد توضیح بدهم که موقع مراجعه به منابع و مراجع این موضوع دچار ابهام نشوید.
در کل دو نوع مدلسازی وجود داره: اولی مدلسازی فیزیکی که به اون مدلسازی مقیاسی هم گفته میشه و دومی هم مدلسازی ریاضی که به دو صورت تحلیلی یا عددی انجام میشه ولی گاهی به اشتباه مدلسازی ریاضی رو مترادف با مدلسازی عددی در نظر می گیرند که در ادامه یک توضیحی در این مورد می دهم.
۱- مدلسازی فیزیکی (Physical Modeling) یا مقیاسی (Scale Modeling): در این نوع مدلسازی در واقع ماکت فیزیکی نمونه اصلی ساخته میشه و رفتار پدیده موردنظر بر روی ماکت که در مقیاس کوچکتر یا بزرگتر (معمولا کوچکتر) ساخته شده برررسی میشه. این کار معمولا به دلیل هزینه بالای نمونه اصلی هست. برای نمونه وقتی می خواهند یک هواپیمای بزرگ را طراحی کنند یا تغییر کوچکی در قسمتی از بال یا بدنه اون انجام بدهند در عمل نمی آیند روی یک هواپیمای واقعی این کار را انجام بدهند چون هزینه اون خیلی زیاد هست و اگر آزمایش با شکست مواجه بشه جان خلبان و کل هواپیما از بین خواهد رفت. پس در عمل ماکت اون هواپیما در مقیاس کوچکتر (مثلا ۱:۱۰۰) ساخته میشه و سپس این ماکت درون یک تونل باد قرار می گیره و با وزش پنکه هایی به اون ماکت کوچکتر به شکلی سعی می کنند رفتار هواپیمای بزرگتر (نمونه اصلی) را بررسی کنند. یا مثلا در مورد سازه های بزرگ مثل سد ممکن است چنین ماکت هایی ساخته شود و رفتار اون هنگامی که با جریان های هیدرولیکی مختلف مواجه میشه بررسی بشه.
به این ۱:۱۰۰ که در مثال بالا اشاره شد ضریب مقیاس مدلسازی گفته میشه و بسته به ابعاد نمونه اصلی ممکنه از ضریب های مقیاس مختلفی در مدلسازی های فیزیکی استفاده بشود. منتهی این کار دارای دردسرهای خاص خودش هست. یکی از اونها هزینه نسبتا بالای انجام این نوع مدلسازی های فیزیکی هست. برای نمونه در همون ماکت هواپیما شما باید کلی هزینه کنید تا ماکت را بسازید و نیز نیازمند یک آزمایشگاه مجهز به تونل باد و ابزارهای اندازه گیری سرعت و فشار و غیره هستید تا بتونید رفتار اون ماکت در سرعت های مختلف رو بررسی کنید.
در مورد مسائل پزشکی با توجه به اینکه انسان یک موجود زنده هست شاید مثلا بشود آزمایش هایی که روی حیوانات دارای آناتومی مشابه انسان (مثل موش و میمون و غیره) انجام می شود را از این نوع به حساب آورد. البته به دلایلی که در ادامه می گویم این نوع مدلسازی یک دردسر دیگری هم دارد که باعث میشه نمونه کوچکتر (ماکت) لزوما رفتار مشابه با نمونه اصلی را نداشته باشه.
این مشکل از اونجایی ناشی میشه که جدای از اینکه نمونه اصلی و مدل (ماکت) می بایست دارای تشابه هندسی باشند (یعنی نسبت اجزای مختلف یکسان باشه) بلکه می بایست قوانین تشابه دینامیکی بین مدل و نمونه اصلی هم برقرار باشد. مثلا فرض کنید بال یک هواپیمای بزرگ ممکن است باد با سرعت ۳۰۰ کیلومتر در ساعت را تحمل کند ولی یک نمونه کوچک که از این هواپیما ساخته شده نمی تواند لزوما این سرعت را تحمل کند و با توجه به ابعادش همین که سرعت ۳۰ کیلومتر در ساعت را هم تحمل کند کافی است. این به دلیل همان تشابه دینامیکی است و باعث می شود در مدلسازی فیزیکی مجبور باشید برای حفظ این نوع تشابه حتی جنس سیال مورد استفاده در مدل و نمونه اصلی متفاوت باشد. مثلا ممکن است در مدلسازی جریان از روی سازه ای مثل سد مجبور شوید برای اینکه این تشابه رو برقرار کنید از سیالی مثل روغن استفاه کنید که دارای لزجت پایین تر یا بالاتری هست.
پس در مجموع می شود گفت این نوع مدلسازی نسبتا هزینه بر بوده و نیازمند دقت زیادی در ساخت مدل هست به طوری که بشود نتایج را در نهایت با هم مقایسه کرد.
۲- مدلسازی ریاضی (Mathematical Modeling) که به دو صورت تحلیلی (Analytical) یا عددی (Numerical) انجام میشه. و در واقع پیشنهاد من هم این هست که بیشتر به سمت این نوع مدلسازی بروید که ارزان تر و مقرون به صرفه تر هست. در این نوع مدلسازی همونطور که از اسمش هم پیداست شما نمونه اصلی را با یک سری معادلات ریاضی و فرضیاتی شبیه سازی می کنید و سپس این معادلات را روی کاغذ یا با ماشین حساب یا کامیوتر حل می کنید. اینکه چه معادلاتی را برای بیان پدیده موردنظر به کار ببرید می شود مدل ریاضی موردنظر. معمولا در این قسمت نیازی نیست شما کار زیادی کنید و این نوع مدل های ریاضی توسط دیگران معرفی شده اند مگر اینکه بخواهید روی یک موضوع بسیار جدید کار کنید. مثلا در همان مقاله ای که در صفجه گذاشته به اون پرداختیم دیدیم که برای تعریف پدیده رشد یک تومور سرطانی از ۴ معادله ریاضی که از نوع معادلات دیفرانسیل جزئی بودند استفاده شده بود. در مرحله دوم صحبت حل این معادلات حاکم بر پدیده یا همان مدل ریاضی تعریف شده برای آن پدیده پیش می آید. در اینجا دوباره دو روش کلی برای حل وجود دارد.
الف) روش های تحلیلی
در این روش شما معادله های ریاضی موردنظر را به صورت جبری یا تحلیلی حل می کنید. مثلا مساحت زیر یک نمودار معرف انتگرال آن نمودار است. در نتیجه اگر شما بتوانید انتگرال موردنظر را روی کاغذ به صورت تحلیلی حل کنید در عمل دیگر نیازی به مدلسازی عددی نحواهید داشت. مثلا برای یافتن مساحت زیر نمودار y=x انتگرال آن مشخص است که  0.5 * (X^2) است و با دانستن این موضوع شما دیگر نیازی به حل عددی این مساله برای یافتن مساحت زیر نمودار y=x نخواهید بود. در واقع کاری که من و شما در تمام طول دوران دبیرستان برای حل مسائل ریاضی به کار می بردیم از نوع تحلیلی بوده است.
ب) روش های عددی
ولی از آنجایی که همیشه امکان حل تحلیلی همه مساپل ریاضی فراهم نیست. مثلا ممکن است نموداری که قرار است مساحت زیر آن محاسبه شود دارای معادله خیلی پیچیده ای بوده و روش تحلیلی مشخصی برای حل آن وجود ندارد در اینجا شما مجبور می شود مساحت زیر نمودار را به صورت عددی تقریب بزنید. یعنی می آیید و زیر نمودار به ده ها و صدها مستطیل تقسیم می کنید و مساحت آن مستطیل ها را جمع می زنید (از نظر عددی مقدار آن نمودار را در بازه های مختلف به دست می آورید و ضربدر بازه هایی که تقسیم کرده اید می کنید و حاصل اینها را با هم جمع می کنید). اگر بازه هایی که برای تقسیم در نظر گرفته باشید به قدر کافی کوچک باشد طبیعی است که مساحتی که به این شکل و به صورت عددی تقریب زده می شود بسیار نزدیک به مقداری باشد که به صورت تحلیلی و از روش اول به دست می آید. برای انجام این نوع برآوردهای تقریبی یا در واقع حل عددی مسائل ریاضی پیچیده هم روش های عددی زیادی توسط افراد مختلف معرفی شده که می شود از آنها استفاده کرد. مثلا برای حل تقریبی و عددی یک معادله دیفرانسیل درجه ۲ ممکن است ۱۰ پژوهشگر روش های مختلفی را که معمولا به نام خودشان است را پیشنهاد داده باشند که در کتاب های روش های عددی به اینها پرداخته شده و شما می توانید از یکی از اینها استفاده کنید.
تا قبل از دهه ۹۰ به دلیل نبود کامپیوتر و یا سرعت پایین کامپیوترها امکان انجام چنین محاسبات عددی برای مسائل خیلی پیچیده فراهم نبود یا خیلی وقت گیر بوده ولی به تدریج با بهبود سرعت کامپیوترها از برنامه های کامپیوتری دارای سرعت بالا مثل فرترن و C استفاده می شد. در عمل بعد از حدود سال ۲۰۰۰ با بیشتر شدن سرعت کامپیوترها حتی می توان با برنامه های کامپیوتری با سرعت پایین تری مثل Matlab هم در زمان معقولی به مدلسازی و حل عددی یک پدیده پرداخت.
==============
در مجموع باید گفت روش مدلسازی فیزیکی یا مقیاسی که در ابتدای کار گفتم هزینه بر هست و شاید در داخل امکان انجام چنین مدلسازی هایی زیاد فراهم نباشد. در مورد روش دوم مدلسازی که روش ریاضی است دوباره به دو نوع تقسیم شده که اولی تحلیلی و دومی عددی است. روش تحلیلی را بهتر است دوستانی که ریاضی کاربردی می خوانند و تسلط بیشتری بر روی حل معادلات ریاضی و روش های حل آنها دارند استفاده کنند و روش دوم یعنی حل عددی را بقیه رشته ها (از پزشکی گرفته تا مهندسی و گیاه شناسی و هر رشته دیگری به غیر از ریاضی).
مدل های فیزیکی -----> هیچکدام نمی خواهد زیاد پیگیر آن شوید. (اگر امکاناتش فراهم نبود)
مدل ریاضی با رویکرد حل تحلیلی -----> بیشتر ریاضی کاربردی ها
مدل ریاضی با رویکرد حل عددی ------> بیشتر بقیه رشته ها

 

 

[Andre]

'butterfly' pid='47755' dateline='1383681493'

تشکر از توضیحات خوبتون، 
من به عنوان فارغ التحصیل گرایش انالیز عددی از رشته ریاضی کاربردی لازم می دونم قسمت اخر صحبتتون تصحیح کنم.
اصولا گرایش انالیز عددی که به مطالعه و بررسی و بهبود روش های عددی و همچنین ایجاد روش های جدید برای حل مسائل ریاضی می پردازد و به طور کلی علت پیدایش چنین شاخه ای از ریاضیات عدم امکان حل تحلیلی و  یافتن جواب دقیق برای بسیاری از معادلات منتج از مدلسازی پدیده های مختلف فیزیکی، زیستی و غیره است. پس این تقسیم بندی شما که ریاضی کاربردی به رویکرد تحلیلی می پردازد و سایر رشته ها به رویکرد حل عددی چندان درست نیست. البته تحلیل ریاضیاتی بخشی از کار ریاضیدان های عددی و کاربردی هم هست به این صورت که ما فقط به پیاده سازی یک روش عددی بر روی یک مساله خاص و بهبود جواب ها اکتفا نمی کنیم و یک مقاله پر محتوا در این زمینه معمولا شامل چند قضیه برای اثبات نظری نتایج عددی مقاله نیز می باشد. در واقع متخصصان ریاضی همواره با اثبات های ریاضیاتی این اطمینان خاطر را برای سایر متخصصان فراهم می کنند که می توان روش مورد نظر را به با اسودگی خاطر استفاده کرد.

 

 

در تایید سخن هم رشته ای عزیز. اولین مقاله‌ای که من داشتم با رشته مهندسی مکانیک یکی بود . امروزه Inverse Problem یک شاخه‌ی بین رشته‌ای معرفی میشه که فقط بچه‌هایی که گرایش عددی و به طور خاص معادلات کار می کنند با آن سر و کار دارن. در سطح حرفه ای به مدل‌سازی ختم میشه و در در سطوح پایین تر، ارائه روشهای عددی (غالباً با توسعه چشمگیر) به عنوان ابزای برای بهبود خروجی در مسائل کنونی هست.

[M1KE]

منظور من هم همین بود منتهی چون دیگه خیلی وارد جزپیات نشدم یک مقدار شاید برداشت دو گانه‌ای بشه ازش کرد. منظور من در واقع این بود که دوستان ریاضی به دلیل تسلط بیشتری که روی ریاضیات دارند می‌تونند روش‌های حل عددی معادلات (چه از روش تحلیلی و چه از روش عددی) رو بهبود بدهند. منتهی دوستانی که در دیگر رشته‌ها مثل پزشکی و مهندسی هستند از این روش‌ها به عنوان یک «ابزار» استفاده می‌کنند تا معضلات و مشکلاتی را که در علم مربوط به خودشون هست رو حل و شبیه‌سازی کنند و دیگه خیلی وارد جزپیات خود روش عددی موردنظر نمی‌شوند. به بیان دیگه دوستان ریاضی ماشین حساب طراحی می کنند و پزشک‌ها و مهندس‌ها با اون ماشین حساب٬ ضرب و جمع انجام می‌دهند و خیلی کاری به اینکه این ماشین حساب از چه روشی برای جمع و تفریق استفاده می‌کنند ندارند.

مثلا همین روش Crank-Nicolson یا روش Lax-wendrof اینها روش‌های عددی برای حل عددی یک سری معادلات هستند. افرادی که ریاضی می‌خونند می تونند خود این روش‌ها یا مشابه‌های اونها را بهبود بدهند به شکلی که سرعت حل عددی معادلات و در نتیجه تلاش محاسباتی (Computational effort) مربوط به مدلسازی کاهش پیدا کنه. به همین دلیل خیلی از این روش ها رو می بینیم که توسط کارشناسان ریاضی در سال‌های مختلف بهبود داده شده‌اند و با عنوان‌هایی مثل روش XXXXX اصلاح شده به کار می‌روند. ولی مهندس یا پزشک خیلی وارد جزئیات بهبود این روش‌ها در مفهوم محص اونها نمی‌شوند و بیشتر سعی می‌کنند از بهترین اونها به عنوان یک ابزار برای حل پدیده موردنظر استفاده کنند.

برای نمونه یک مهندس ممکنه یکی از این روش‌های عددی رو انتخاب کرده و با اون پدیده پخش آلودگی نفتی در خلیج مکزیک رو مدل کنه تا ببینه اگر یک لوله‌ای در عمق دریا دچار نشت بشه بعد از چه مدت زمانی اینها به سطح آب و سپس به ساحل دریا می‌رسند و چه اثراتی می‌تونند روی محیط زیست اونجا بگذارند. قسمتی از کار که مربوط به روش عددی مورد استفاده هست مثل همین روش‌های عددی Crank-Nicolson یا Lax-wendrof و غیره رو افرادی که ریاضی می‌خونند می‌تونند بهبود بدهند طوری که حل معادلات حاکم بر پدیده پخش آلودگی (برای مهندس‌ها) یا مثلا پدیده رشد تومور سرطانی (برای پزشک‌ها) رو بشود سریع‌تر انجام داد. ولی از اونطرف فردی که مهندسی یا پزشکی می‌خونه و پشتوانه علمی‌اش بیشتر مهندسی یا پزشکی است تا ریاضی٬ طبیعی است که اگر از این روش‌ها به عنوان «ابزار» استفاده کنه می تونه حرف بیشتری برای زدن در رشته و دانش خودش رو داشته باشه.

در ابتدای کار هم اشاره کردم که این مبحث در مرز دو دانش ریاضی از یک سو٬ و دیگر علوم (مهندسی و پزشکی و غیره) از سوی دیگر قرار داره و طبیعی هست که دانشمندان ریاضی بیشتر مرز دانش خودشون رو به جلو هل بدهند (یعنی روش‌های ریاضی موردنظر رو بهبود دهند) و دانشمندان علوم دیگر هم مرز دانش خودشون رو (یعنی با استفاده از اون روش‌های عددی به حل پدیده‌ها و مشکلات علم خودشون بپردازند تا مشکلی رو در اون علم حل کنند. مثلا پزشک‌ها روش‌های درمان سرطان رو بهبود بدهند یا مهندسان روش‌های جمع‌آوری آلودگی نفتی رو بهبود بدهند).

این نوع کارها رو البته اگر در دو دانش موردنظر افرادی باشند که بتونند به خوبی با هم Joint بشوند و کار گروهی انجام دهند کارهای زیادی میشه کرد. برای نمونه فردی که در ریاضی قوی‌تر هست بیشتر قسمت‌های روش‌های عددی قضیه و اینکه بهتر هست از چه روش‌هایی استفاده بشه رو در دست بگیره و فردی که در دانش دوم (در اینجا پزشکی) قوی‌تر هست نتایج مدلسازی موردنظر رو تجزیه و تحلیل کنه و کاربرد اون رو در علم پزشکی بررسی کنه.

این که می بینید در کشورهای پیشرفته کارهای بزرگی انجام میشه در واقع به دلیل همین روحیه گروهی و استفاده از مهارتهای کارشناسان مختلف که در مرز دانش های خودشون قرار دارند هست. مثلا وقتی می خواهند یک سفینه ای رو به مریخ بفرستند یک ریاضی‌دان ممکنه بهترین مسیر پرواز رو مشخص کنه٬ یک مهندس مکانیک یا الکترونیک بهترین روبوت کاوشگر رو طراحی کنه٬ یک پزشک بهترین روش تغذیه رو برای فضانوردان اون سفینه در نظر بگیره٬ یک مهندس کامپیوتر سریعترین و سبک‌ترین تجهیزات کامپیوتری رو برای اون طرح کنه و در نهایت می بینید ترکیب اینها یک پروژه عظیمی میشه که هیچ کدوم از دانشمندان اون علوم به تنهایی نمی تونستند اون کار رو انجام بدهند.

در اینجا هم برای یک دانشمند ریاضی خیلی غیر محتمل هست که دانش خودش در مورد سرطان رو به قدری بهبود بده که بتونه حرفی برای زدن در مرز دانش علم پزشکی داشته باشه و از اونطرف هم برای یک دانشمند پزشکی هم خیلی غیر محتمل هست که انقدر در ریاضیات قوی بشه که بتونه مرز دانش روش‌های عددی رو (خود روش‌ها و نه استفاده‌ای که از اونها میشه) رو خیلی بهبود بده. 

تشکر از توضیحات خوبتون، 
من به عنوان فارغ التحصیل گرایش انالیز عددی از رشته ریاضی کاربردی لازم می دونم قسمت اخر صحبتتون تصحیح کنم.
اصولا گرایش انالیز عددی که به مطالعه و بررسی و بهبود روش های عددی و همچنین ایجاد روش های جدید برای حل مسائل ریاضی می پردازد و به طور کلی علت پیدایش چنین شاخه ای از ریاضیات عدم امکان حل تحلیلی و  یافتن جواب دقیق برای بسیاری از معادلات منتج از مدلسازی پدیده های مختلف فیزیکی، زیستی و غیره است. پس این تقسیم بندی شما که ریاضی کاربردی به رویکرد تحلیلی می پردازد و سایر رشته ها به رویکرد حل عددی چندان درست نیست. البته تحلیل ریاضیاتی بخشی از کار ریاضیدان های عددی و کاربردی هم هست به این صورت که ما فقط به پیاده سازی یک روش عددی بر روی یک مساله خاص و بهبود جواب ها اکتفا نمی کنیم و یک مقاله پر محتوا در این زمینه معمولا شامل چند قضیه برای اثبات نظری نتایج عددی مقاله نیز می باشد. در واقع متخصصان ریاضی همواره با اثبات های ریاضیاتی این اطمینان خاطر را برای سایر متخصصان فراهم می کنند که می توان روش مورد نظر را به با اسودگی خاطر استفاده کرد.

 

 

[M1KE]

من تعدادی کتاب در اینجا آپلود کردم که در مورد مدلسازی در پزشکی هستند. البته کتاب‌های اول و دوم در حال حاضر خیلی برای شما مناسب نیستند ولی بد نیست که این کتاب ها را که هر کدام حدود ۴۰۰-۳۰۰ صفحه هستند را به سرعت نگاه کنید (تصویرها و معادلات به کار رفته را ببینید) تا یک ذهنیت عمومی از کارهایی که در این زمینه ها انجام می‌شود به دست آورید.

کتابی که بیشتر مدنظرم بود شما در حال حاضر مطالعه کنید کتاب سوم هست که به توضیح در مورد روش‌های محاسباتی مبتی بر شبکه‌های عصبی مصنوعی (Artificial Neural Networks) هست بپردازید. به طور ویژه بخش ۳.۲ این کتاب (صفحه‌های ۷۸ تا ۹۳ خود کتاب که معادل صفحه‌های ۹۹ تا ۱۳۵ فایل pdf گذاشته شده است) را به طور دقیق‌تر بخوانید تا ذهنیتی در مورد این روش به دست آورید. این روش در بسیاری از علوم مهندسی و غیر مهندسی که به شکلی با یک سری داده‌های اندازه‌گیری شده سر و کار دارند از مهندسی برق گرفته تا عمران و پزشکی و غیره می‌تونه کاربرد داشته باشه.

توضیحاتی در مورد این روش:
به طور کلی این روش به پیش‌بینی یک سری نتایج بر اساس یک سری داده‌هایی که قبلا به اون داده شده عمل می‌کنه. مثلا به طور ساده شما به ایشان ۱۰۰ داده می‌دهید که در اون به قد (پارامتر ورودی اول) و وزن افراد (پارامتر ورودی دوم) و تعداد دفعاتی که تا به حال به پزشک مراجعه کرده‌اند (پارامتر خروجی) اشاره شده. با استفاده از این داده‌ها مدل عصبی مصنوعی خودش رو آموزش میده و اگر شما به این مدل اطلاعات ورودی (یعنی قد و وزن) مربوط به یک سری افراد رو بدهید٬ مدل برای شما پیش بینی می کنه این افراد چند بار در زندگی خودشون به پزشک مراجعه کرده اند (خروجی).

طبیعتا در داده‌های موردنظر افرادی که شاخص توده بدنی خیلی کوچک یا بزرگی داشته‌اند بیشتر به پزشک مراجعه کرده‌اند و این مدل هم با توجه به داده‌هایی که به اون داده شده این موضوع رو متوجه میشه و بار بعد که به اون اطلاعات مربوط به قد و وزن یک فرد داده بشه این موضوع رو پیش بینی می کنه که اون فرد چند بار به پزشک مراجعه می کنه.

حالا این مثال ساده را تعمیم بدهید به حالتی که شما ۲۵ پارامتر ورودی (مثل فشار خون٬ قند و غیره) و همین طور یک یا ۲ پارامتر خروجی مثل نرخ رشد تومور سرطانی یا تراکم اون رو که مربوط به ۲۰۰ بیمار هست رو به مدل بدهید. مدل با استفاده از اطلاعات ورودی و خروجی این ۲۰۰ بیمار خودش رو آموزش میده و اگر شما مثلا اطلاعات ورودی یک سری بیمار جدید (همون ۲۵ پارامتر) رو به مدل بدهید می تونید پیش‌بینی کنید که نرخ رشد تومور سرطانی یا تراکم اون (خروجی‌های مدل) چقدر خواهد بود.

در زیر به طور خلاصه توضیح می دهم که ساختار مدل شبکه عصبی مصنوعی چطور هست و چطور این کار رو انجام میده. در این شکل x1, x2, x3 در واقع همون پارامترهای ورودی هستند (فشار خون٬ قند و یا هر پارامتر دیگری) که تعدادشون می تونه بسته به تعداد داده‌های اندازه گیری شده هر مقدار دلخواهی رو داشته باشه. در سوی دیگر مدل y1, y2, y3 قرار دارند که اینها همون خروجی های مدل هستند (مثلا نرخ رشد تومور سرطانی و غیره) و اینها هم تعدادشون میتونه به صورت دلخواه توسط کاربر انتخاب بشه. معمولا تعداد خروجی ها محدود هست و تعداد ورودی ها بیشتر٬ چون در اغلب موارد هدف بررسی اثر پارامترهای ورودی بر چند پارامتر خروجی هست که مدنظر مطالعات هستند.

یک سری لایه ها در بین این دو قرار دارند که تعداد این لایه ها و همین طور تعداد نقاط اونها می تونه توسط کاربر تنظیم بشه. کار این لایه های میانی مدل در واقع اختصاص دادن ضرایبی و ورن دهی هایی به پارامترهای ورودی و مرتبط کردن اونها به پارامترهای خروجی هست. وقتی این وزن دهی ها صورت گرفت در واقع گفته میشه مدل آموزش دیده شده است. این مدل با استفاده از این اعداد و ضرایب وزن دهی شده این توانایی رو خواهد داشت که وقتی در آینده اطلاعات ورودی دیگری به اون داده بشه٬ پارامترهای خروجی رو محاسبه کنه.

معادلات حاکم بر این روش محاسباتی رو میشه در قسمت هایی از کتاب که گفتم و به طور کلی در تمام اون کتاب به صورت جزپی دید که توسط ریاضی‌دانان مختلف توسعه و پیشنهاد داده شده اند و در علوم مختلف مورد استفاده مهندس ها و غیره قرار می گیرند. نرم افزار این مدل هم موجود هست که این محاسبات را به صورت خودکار انجام میده و در نتیجه در صورتی که شما یک دید حداقلی از روش کار این مدل داشته باشید می تونید با نرم افزار اون کار کنید.

در صورتی که داده های اندازه گیری شده از نوعی که در بالا گفتم در اختیار داشتید و بعد از مطالعه این روش به اون علاقه داشتید می تونم نرم افزار اون رو در اختیار شما قرار بدهم و یک توضیحات کلی رو در مورد روش کار با اون بدهم که استفاده کنید.

re mike:
چقدر عالی مدلسازی رو برام توضیح دادین واقعا ممنونم . چند سوال داشتم؟
برای طرح فرضیات مساله و مدلسازی که فرمودین نیاز به مطالعه کتابهای فیزیک هست یا اینکه از چه رشته ای می تونم کمک بگیرم؟
در خصوص حل معادلات و محاسبات بسیار علاقه مندم و میخوام خودم در این زمینه فعالیت کنم از کجا شروع کنم از کتابهای دیفرانسیل دانشگاهی؟
یعنی حل معادلات با نرم افزار کافیه پس ریاضی در کجا کاربرد داره ؟

 

 

[maazi]

سلام . ببخشید من می خوام دانشگاههای داخل رو که رشته ریاضی پزشکی دارن و سر فصلهای این رشته رو پیدا کنم . کسی می تونه به من کمک کنه ؟ ممنونم

[ahmadpashaei]

سلام . ببخشید من می خوام دانشگاههای داخل رو که رشته ریاضی پزشکی دارن و سر فصلهای این رشته رو پیدا کنم . کسی می تونه به من کمک کنه ؟ ممنونم

 

سلام.خوش اومدین به این سایت
راستش من ریاضی پزشکی نشنیدم ولی ریاضی زیستی اگر منظورتون هست خوب باید بگم این گرایش در خیلی از دانشگاه ها وجود داره و بهترین رفرنس هم دفترچه کنکور هست طبعا. راستش استاد اینکاره تقریبا نداریم توی ایران!! خیلییییییی کم پیدا میشه. در هر کدوم از این دانشگاه ها اساتیدی هستند که درس میدن ولی آماری درس میدن نه شیمی و زیستی،در واقع این کاره نیستن. اما جدیدا یک استاد بسیار قوی رو دانشگاه ما جذب کرده که به معنای واقعی کلمه اینکاره هست و دکتراش رو فرانسه و post doc رو در سوییس درس خونده و عضو یک تیم تحقیقاتی قوی و معروف 8 نفره اونجام هست. تا اومد ایران خوشبختانه خواجه نصیر که همیشه خدا عقبه از رقباش! رو هوا قاپیدش[img]images/smilies/biggrin.gif[/img]کلی هم خبرش تو دانشگاه پیچید. من اسم و ایمیل ایشون و همینطور یکی دیگه از استادای با زمینه تحقیقاتی آمار و علوم رایانه در دانشگاه صنعتی خواجه نصیر رو اینجا قرار می دم که باهاشون مکاتبه کنید:
1-دکتر مهسا بهزادی: mbehzadi@kntu.ac.ir
2-دکتر سید مقتدی هاشمی پرست: hashemiparast@kntu.ac.ir

 

[maazi]

سلام
خیلی  خیلی ممنون از اطلاعاتی که در اختیارم گذاشتین.

[maazi]

سلام
من دفترچه انتخاب رشته ارشد و دکتری رو در سایت سنجش چک کردم . تنها گرایشهای موجود در رشته ریاضی : محض - کاربردی - اموزش ریاضی و ریاضی مالی بود . اسمی از ریاضی زیستی یا عنوان مشابهی نبود . ممنون میشم اگر دانشگاهی رو سراغ دارین که این رشته رو داره اسمش رو برام بفرستین .